Bíró Sándorné - Szabados Tamás : Vektoranalízis

A ​vektoranalízis tárgyalásmódja világszerte átalakult az elmúlt időszakban. Könyvünkben mi is azt a modern felfogást követjük, amely differenciálformák segítségével egységes, jól áttekinthető elméletben egyesíti a régebben külön kezelt speciális eseteket. E módszernek az az előnye is megvan, hogy a szereplő „új” fogalmak egyes vonatkozásai — bizonyára szemléletes tartalmuk miatt is — már jóideje megtalálhatóak a fizikában és az alkalmazásokban.

Könyvünk célja az, hogy az alkalmazásokkal foglalkozó szakemberek (mérnökök, fizikusok) és egyetemi hallgatók részére ebben az újszerű felfogásban ismertesse a vektoranalízis legfontosabb eredményeit. Így jutunk el az általános Stokes-tételhez, amely a jólismert Newton-Leibniz formula általánosítása több dimenzióra. Ennek segítségével a különféle integrálátalakító képletek (pl. Gauss-Osztrogradszkij-tétel, Stokes-formula) már nagyon könnyen beláthatók, az olvasó akár saját maga is kitalálhatja, bebizonyíthatja őket.

Ehhez hasonlóan, a potenciálelmélet tárgyalását az igen általános érvényű Poincaré-lemmára alapozzuk, amelyből a skalár- és vektorpotenciállal kapcsolatos eredmények könnyen kiadódnak. Emellett a görbevonalú koordináta-rendszerek, elsősorban a lokálisan ortogonális koordináta-rendszerek ismertetésére is kitérünk. Itt mondjuk el, hogyan kell felírni ezen rendszerekben a divergenciát, rotációt, gradienst, valamint a Laplace-operátort.

A tárgyalás során — a bonyolult anyag jobb megértetése céljából, és a gyakorlat szempontjait figyelembe véve — többnyire csak a háromdimenziós térre szorítkozunk. Azonban az alkalmazott módszerek minden nehézség nélkül átvihetők bármely véges dimenziós euklideszi térre. (E kérdések további tanulmányozására ajánljuk Rudin és Spivak könyvét.) Néhány bonyolultabb bizonyítást elhagytunk, helyettük inkább magyarázatokat, példákat adunk. A nehezebb fogalmakat először szemléletesen, majd speciális eseteken keresztül vezetjük be, és utána mondjuk csak ki az általános definíciót. Egyébként is általában példákkal és ábrákkal segítjük a megértést, és ahol erre lehetőség van, a legismertebb alkalmazási területet is megemlítjük.

A könyv megértéséhez az olvasónak ismernie kell a lineáris algebra elemeit és az analízis néhány eszközét (pl. a többes integrálokat).